Юно Авшалумов родился 22 сентября 1934 года в Дербенте в семье режиссера Захарьё Авшалумова. К отцу часто приходили друзья, беседа которых почти всегда заканчивалась песнями и импровизациями. Часто Захарьё брал сына в театр. Не удивительно, что маленький Юно в возрасте трех-четырех лет взял кусок доски, моток ниток, смастерил тар. Он часто брал свой «тар» и напевал песню, которую слышал дома накануне, примостившись на коленях отца. Конечно, струны не издавали желанных звуков, тогда находчивый музыкант помогал себе, постукивая ложкой.

Когда началась война, Юно исполнилось семь лет. В доме стало тихо и пусто: отец и его друзья ушли воевать. Жить стало очень трудно, людям было не до музыки. В Дербенте, как и во всей стране, царил голод. Но Юно Авшалумов, несмотря на войну и голод, мечтал овладеть каким-нибудь музыкальным инструментом.

В 1943 году, когда миновали самые трудные месяцы войны, мать отдала его учиться к талантливому кларнетисту Мухоилю. Он научил Юно играть на таре. Иногда, если ученик ошибался, строгий учитель мог и ударить его линейкой по пальцам. Нравилось маленькому Юно играть и на бубне. Однажды, когда учителя не было дома, ученик взял без разрешения бубен учителя и стал играть, забыв обо всем. Он и не заметил, что пришел Мухоил. Учитель стоял в дверях и слушал. Юно думал, что его накажут, но преподаватель, улыбаясь, сказал: «Играй, родной, играй!» Через много лет Юно Авшалумов написал мелодию для тара и сыграл эту мелодию своему учителю. По лицу Мухоила было видно, что он гордится талантливым учеником.

Захарьё Авшалумов с войны не вернулся. Это была большая потеря не только для семьи, но и для всего народа. Татский театр потерял незаурядного режиссера. Сразу после войны двенадцатилетнему Юно Авшалумову предлагают выступать в музыкальной труппе театра. С этого времени его жизнь навсегда связана с музыкой. В семье погибшего фронтовика Захарьё Авшалумова было четверо детей: один сын и четыре дочери. Юно Авшалумов стал кормильцем семьи, с раннего возраста играя на свадьбах.

В 1952 году он поступил в музыкальное училище в Махачкале на отделение хорового пения и дирижирования, где познакомился с известными музыкантами: Готфридом Гасановым, Хизгилом Ханукаевым, Наби Дагировым, Моней Дагаевым, Джумшудом Ашуровым. С третьего курса училища Юно призвали в армию. Он служил в музыкальном взводе и руководил хоровым самодеятельным кружком, который несколько раз занимал призовые места на конкурсах в гарнизоне.

В 1964 г. Юно Авшалумов окончил Бакинскую консерваторию. В 1960-1963 работал преподавателем дербентского культпросветучилища. Затем шесть лет возглавлял дербентскую музыкальную школу, после чего переехал в Махачкалу.

В дальнейшем он руководил хором Комитета государственного телевидения и радиовещания ДагАССР.

За заслуги в развитии советской культуры Юно Захарьяевичу Авшалумову были присвоены почетные звания заслуженного работника культуры Дагестанской АССР (1967) и заслуженного работника культуры РСФСР (1981).

Находясь в расцвете творческих сил, композитор работал над ораторией для хора, кантатой, музыкальной комедией для родного театра и многих других произведений. Но судьба распорядилась по-своему: тяжелая болезнь помешала осуществлению задуманного. Композитор, дирижер и педагог Юно Авшалумов скончался 2-го декабря 1981 года в возрасте 47 лет. Похоронен в Махачкале.

В 1959 году Юно женился на дербентской девушке Ханне Лэшкэриевой, у них родилось трое детей: Галина, Захар и Светлана. Музыкальный талант Юно Авшалумова передался всем его детям и внукам. Ханна Лазаревна в настоящее время проживает в Израиле вместе с семьей Галины. Захар ушел из жизни в 2004 г., похоронен в Израиле. Светлана Юноевна Авшалумова проживает в Москве, она воспитала талантливую исполнительницу эстрадной песни Рину Авшалумову.